Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由題意可得 ，，從而得到橢圓的方程；

(2) 設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表示面積，結(jié)合均值不等式即可得到最值.

（1）方法一：∵，∴，又，∴.

∴當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線通過橢圓的上頂點(diǎn)，∴.

又，，∴，橢圓的方程為.

方法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，在中，，，，

∴，即. ①

又∵，∴. ②

聯(lián)立①②有，，又，∴.

∴橢圓的方程為.

方法三：∵，∴，又，∴.

∴橢圓的方程可化為，即. ①

又直線的方程為. ②

聯(lián)立①②有，即，∴或.

直線的斜率為1且在軸上方，∴，∴的坐標(biāo)為.

∴，∴，又，∴.

∴橢圓的方程為.

（2）∵在軸上方，∴直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.

∵，，三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，∴直線不垂直于軸，∴，

設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為.

聯(lián)立，有，即，

∴，.

方法一： ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).

∴面積的最大值為.

方法二：直線的方程為，令，則

，

∴直線過定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為，則

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).

∴面積的最大值為.