Question

已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}滿足S_n=

a

a-1

(an-1)（a為非零常數(shù)且a≠1）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

2Sn

an

+1，且b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=

a

a-1

(an-1)，知S_n+1=

a

a-1

（a_n+1-1），利用迭代法能求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a_n=aⁿ知，b_n=

(3a-1)•an-2a

an(a-1)

，若b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，則有b22=b₁b₃，由等比數(shù)列的性質(zhì)能夠求出a的值．

解答： 解：（1）∵S_n=

a

a-1

(an-1)，
∴S_n+1=

a

a-1

（a_n+1-1），
從而a_n+1=S_n+1-S_n=

a

a-1

（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由S_n=

a

a-1

(an-1)，得a₁=a．
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，故a_n=aⁿ．
（2）由（1）知，b_n=

(3a-1)•an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}為等比數(shù)列，
則有b22=b₁b₃，而b₁=3，b₂=

3a+2

a

，b₃=

3a2+2a+2

a2

，
∴（

3a+2

a

）²=3•

3a2+2a+2

a2

，
∴a=

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．