Question

7．某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N（80，σ²）（滿分為100分），已知P（X＜75）=0.3，P（X≥95）=0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取3位同學(xué)．
（1）求抽取的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同學(xué)的概率；
（2）記抽到的3位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[75，85]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由已知得P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，由此能求出抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同學(xué)的概率．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，從而ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）$P（80≤X＜85）=\frac{1}{2}-P（X＜75）=0.2$…（2分）P（85≤X＜95）=0.3-0.1=0.2，P（95≤X＜100）=0.1，…（4分）
所以所求概率為 $P=A_3^3×0.2×0.2×0.1=0.024$…（6分）
（2）ξ的可能值為0，1，2，3．則$P（ξ=k）=C_3^k{（0.4）^k}{（0.6）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．，
$P（ξ=0）=C_3^0{（0.4）^0}{（0.6）^3}=0.216$，
$P（ξ=1）=C_3^1{（0.4）^1}{（0.6）^2}=0.432$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（0.4）^2}{（0.6）^1}=0.288$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（0.4）^3}{（0.6）^0}=0.064$

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

E（ξ）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算，是中檔題．