Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓上的點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC．
（2）設Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：OG∥平面PBC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據面面垂直的判定定理即可證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）根據面面平行的性質證明平面QOE∥平面PBC即可證明OG∥平面PBC．

解答： 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）∵G為△AOC的重心，
∴延長OG交AC于E，則E是AC的中點，
連結QE，則QE是三角形PAC的中位線，
∴QE∥PC，
∵OQ是三角形PAB的中位線，
∴QO∥PA，
∵QE∩QO=Q，
∴平面QOE∥平面PBC，
∵OQ?平面QOE，
∴OG∥平面PBC．

點評：本題主要考查面面垂直的判定，以及面面平行的性質定理的應用，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．