Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在與軸的交點(diǎn)處的切線斜率為-1.

（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ；

（3）證明：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的f′（x）=ex﹣a．通過(guò)f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）求出f（x）的最小值，化簡(jiǎn)f（x）≥1﹣ln4．構(gòu)造g（x）=ex﹣x2﹣1，通過(guò)g′（x）＞0．判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到g（x）＞g（0），推出結(jié)果．

（3）首先證明：當(dāng)x＞0時(shí)，恒有．令，則h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．

試題解析：

（1）由，得．

又，所以．所以， ．

由，得．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）證明：由（1）知．

所以，即， ．

令，則．

所以在上單調(diào)遞增，所以，即．

（3）首先證明：當(dāng)時(shí)，恒有．

證明如下：令，則．

由（2）知，當(dāng)時(shí)， ，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，則， ， ．

以上各式相加，有．

所以，

所以，

即．