分析 (1)先求出AB的中點M坐標,再求出kMC,由此能求出AB邊中線所在直線方程.
(2)設△ABC的外接圓E的圓心D(a,b),半徑為r(r>0).則E為:(x-a)2+(y-b)2=r2.由此利用代入法能求出圓E的方程.
(3)設直線l的方程為y=kx,設l與圓E相交于點M,N,過圓心D作直線l的垂線,垂足為P,由此利用兩點間距離公式、點到直線距離公式,結合已知條件能求出直線l的方程.
解答 解:(1)∵A(2,2),B(1,3),
∴AB的中點M坐標為(32,52),(1分)
∵C(1,1),∴kMC=52−132−1=3,(2分)
∴AB邊中線所在直線方程為:y-52=3(x−32),
整理得:3x-y-2=0.(4分)
(2)設△ABC的外接圓E的圓心D(a,b),半徑為r(r>0).
則E為:(x-a)2+(y-b)2=r2.
由題意,得{(2−a)2+(2−b)2=r2(1−a)2+(3−b)2=r2(1−a)2+(1−b)2=r2,
解得{a=1b=2r=1,所以圓E的方程:(x-1)2+(y-2)2=1.…(9分)
(Ⅱ)設直線l的方程為y=kx
如圖,設l與圓E相交于點M,N,過圓心D作直線l的垂線,垂足為P,
所以|MN|=2|PN|=√2,即|PN|=√22,
在 Rt△DPN中,|DN|=1,|PN|=√22,
所以|DP|=√|DN|2−|PN|2=√22,
又因為圓E的圓心到直線l的距離|DP|=|k−2|√k2+1.
所以|DP|=|k−2|√k2+1=√22,
解得k=1或k=7,
故直線l的方程為y=x或y=7x.…(14分)
點評 本題考查直線方程和圓的方程的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意兩點間距離公式、點到直線距離公式、中點坐標公式、斜率公式的合理運用.
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