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9.在平面直角坐標系xOy內(nèi)有三個定點A(2,2),B(1,3),C(1,1),記△ABC的外接圓為E.
(1)求邊AB的中線所在的直線方程
(2)求圓E的方程;
(3)若過原點O的直線l與圓E相交所得弦的長為2,求直線l的方程.

分析 (1)先求出AB的中點M坐標,再求出kMC,由此能求出AB邊中線所在直線方程.
(2)設△ABC的外接圓E的圓心D(a,b),半徑為r(r>0).則E為:(x-a)2+(y-b)2=r2.由此利用代入法能求出圓E的方程.
(3)設直線l的方程為y=kx,設l與圓E相交于點M,N,過圓心D作直線l的垂線,垂足為P,由此利用兩點間距離公式、點到直線距離公式,結合已知條件能求出直線l的方程.

解答 解:(1)∵A(2,2),B(1,3),
∴AB的中點M坐標為(3252),(1分)
∵C(1,1),∴kMC=521321=3,(2分)
∴AB邊中線所在直線方程為:y-52=3x32
整理得:3x-y-2=0.(4分)
(2)設△ABC的外接圓E的圓心D(a,b),半徑為r(r>0).
則E為:(x-a)2+(y-b)2=r2
由題意,得{2a2+2b2=r21a2+3b2=r21a2+1b2=r2,
解得{a=1b=2r=1,所以圓E的方程:(x-1)2+(y-2)2=1.…(9分)
(Ⅱ)設直線l的方程為y=kx
如圖,設l與圓E相交于點M,N,過圓心D作直線l的垂線,垂足為P,
所以|MN|=2|PN|=2,即|PN|=22,
在 Rt△DPN中,|DN|=1,|PN|=22
所以|DP|=|DN|2|PN|2=22,
又因為圓E的圓心到直線l的距離|DP|=|k2|k2+1
所以|DP|=|k2|k2+1=22,
解得k=1或k=7,
故直線l的方程為y=x或y=7x.…(14分)

點評 本題考查直線方程和圓的方程的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意兩點間距離公式、點到直線距離公式、中點坐標公式、斜率公式的合理運用.

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