Question

19．已知雙曲線的漸近線方程為5x±12y=0，則以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓的離心率為$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，取a=12，b=5，c=13，橢圓的頂點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，可得a₁=c=13，且橢圓的半焦距c₁=a=12，由此結(jié)合橢圓的離心率公式即可得到本題答案．

解答 解：∵雙曲線的漸近線方程為5x±12y=0，
∴不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，取a=12，b=5，c=13，
∵橢圓的頂點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，
∴a₁=c=13，且橢圓的半焦距c₁=a=12，
因此，該橢圓的離心率e=$\frac{12}{13}$．
故答案為：$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線的漸近線方程，求與雙曲線頂點(diǎn)焦點(diǎn)互換的橢圓的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．