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14.已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,其中a∈R.
(1)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增?若存在,求出a的值或取值范圍;否則,請說明理由.
(2)若a<0,且函數(shù)y=f(x)的極小值為-32e,求函數(shù)的極大值;
(3)若a=-1時,不等式(m-n)•e≤f(x)≤(m+n)•e-1在[-1,1]上恒成立,求z=m2+n2的取值范圍.

分析 (1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)≥0求得x2+(a+2)x-2a2+4a≥0在x∈R時恒成立,利用△≤0,求得a的范圍.
(2)由f′(x)=0求得x1=-2a,x2=a-2,列表求出極值,根據(jù)函數(shù)的極小值為-32e,求得函數(shù)的極大值.
(3)由題意可得函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,可得{f1mnef1m+ne1,即 {mn5m+n3.再利用線性規(guī)劃的知識求得z=m2+n2的取值范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,
∴f′(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex+(2x+a)ex =ex[x2+(a+2)x-2a2+4a].
由f′(x)≥0可得ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]≥0.
即x2+(a+2)x-2a2+4a≥0在x∈R時恒成立.
∴△=(a+2)2-4(-2a2+4a)≤0,即(3a-2)2≤0,即a=23,此時,
f′(x)=(x+432ex≥0,函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增.
(2)由f′(x)=0可得ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]=0,解之得x1=-2a,x2=a-2.
當a<0時,-2a>a-2,當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下:

x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
由條件可知,f(-2a)=-32e,即3a•e-2a =-32e,∴{3a=322a=1,可得a=-12
此時,f(x)=(x2-12x-2)ex,
極大值為f(a-2)=f(-52)=112e52
(3)由(2)可知a=-1時,f(x)=(x2-x-5)ex,函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減.
要使不等式(m-n)•e≤f(x)≤(m+n)•e-1在[-1,1]上恒成立,只需{f1mnef1m+ne1,
{mne5em+ne13e1,即 {mn5m+n3.則點(m,n)在如圖中所示的陰影部分所表示的平面區(qū)域內(nèi):

z=m2+n2表示點(0,0)到(m,n)的距離的平方,
最小值為點(0,0)到直線x-y+5=0的距離的平方(522=252,所以z的取值范圍是[252,+∞).

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的恒成立問題,簡單的線性規(guī)劃,屬于難題.

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第1行1
第2行2   4   8
第3行16  32  64  128   256
A.229B.230C.231D.232

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