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6.極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cosθ+sinθ),曲線C2的參數(shù)方程為{x=2cosαy=sinα (α為參數(shù)).
(1)求曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l:{x=12ty=1+32t(t為參數(shù))與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于E,求|EA|+|EB|的值.

分析 (1)極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ,再用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化方程組{x=ρcosθy=ρsinθ{ρ2=x2+y2tanθ=yx轉(zhuǎn)化為x,y的關(guān)系式,即可.
(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.將參數(shù)方程代入曲線C1,得關(guān)于t的一元二次方程,再結(jié)合韋達(dá)定理求解|EA|+|EB|所表達(dá)出的韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)式.因E在曲線C1(圓)內(nèi),故|EA|+|EB|=|AB|,也可以直接轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程,求直線與圓的弦長(zhǎng)|AB|.

解答 解:(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cosθ+sinθ),
兩邊同乘乘ρ,得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)
{x=ρcosθy=ρsinθ  且 ρ2=x2+y2
∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2=2x+2y 即(x-1)2+(y-1)2=2   …2分
曲線C2的參數(shù)方程為{x=2cosαy=sinα (α為參數(shù))則{cosα=x2sinα=y 
∵cos2α+sin2α=1
∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x24+y2=1   …4分
(2)解法一:
直線l:{x=12ty=1+32t(t為參數(shù))與y軸交點(diǎn)為E(0,1)…5分
直線l與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),由直線l參數(shù)t的意義
知|EA|+|EB|=|tA|+|tB|…6分
將直線l參數(shù)方程代入曲線C1直角坐標(biāo)方程
得:12t12+1+32t12=2 即 t2-t-1=0
∴tA+tB=1,tAtB=-1   …8分
因?yàn)镋(0,1)在曲線C1內(nèi),
∴|EA|+|EB|=|tA|+|tB|=|tA-tB|
=tA+tB24tAtB
=5.         …10分
解法二:直線l的普通方程為y=3x+1    …5分
由(1)知曲線C1是以(1,1)為圓心,以2為半徑的圓.
因E在圓C1內(nèi),∴|EA|+|EB|=|AB|…6分
又∵圓心(1,1)到直線l的距離d=|31+1|32+12=32   …8分
∴|AB|=222322=5,
∴|EA|+|EB|=5.     …10分

點(diǎn)評(píng) 考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化普通方程,直線參數(shù)方程的意義.考查方程思想.屬于中檔題.

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