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15.已知函數(shù)f(x)=3sin(x2+\frac{π}{6})+3.
(1)用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象;
(2)指出由函數(shù)y=3sin\frac{x}{2}通過怎樣的變換可以得到函數(shù)f(x)=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3的圖象并求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若x∈[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}],求f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=0,\frac{π}{2},π,\frac{3π}{2},2π得到相應(yīng)的x的值,列表描點(diǎn)即可;
(2)由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b變換規(guī)律,將y=3sin\frac{x}{2}沿x軸向左平移\frac{π}{3}單位可得:y=3sin\frac{1}{2}(x+\frac{π}{3})=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6}),將y=3sin\frac{1}{2}(x+\frac{π}{3})沿y軸向上平移3個(gè)單位可得:f(x)=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3的圖象,根據(jù)圖象寫出周期,由 2kπ-\frac{π}{2}\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,求得x的范圍,即得單調(diào)增區(qū)間,
(3)由x∈[\frac{π}{3}\frac{4π}{3}],\frac{x}{2}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}\frac{5π}{6}],根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知:3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3∈[\frac{9}{2},6].

解答 解:(1)令\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=0,\frac{π}{2},π,\frac{3π}{2},2π,得到相應(yīng)的x的值,列表如下:

 x-\frac{π}{3} \frac{2π}{3} \frac{5π}{3} \frac{8π}{3} \frac{11π}{3}
 \frac{x}{2}+\frac{π}{6} 0 \frac{π}{2} π \frac{3π}{2} 2π
 y 3 6 3 0 3
…2分
描點(diǎn),用光滑的曲線把各點(diǎn)連接,作圖如下:
…6分
(2)數(shù)f(x)=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3
將y=3sin\frac{x}{2}沿x軸向左平移\frac{π}{3}單位可得:y=3sin\frac{1}{2}(x+\frac{π}{3})=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6}),將y=3sin\frac{1}{2}(x+\frac{π}{3})沿y軸向上平移3個(gè)單位可得:f(x)=3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3的圖象,
由2kπ-\frac{π}{2}\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,解得:4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3},k∈Z,
∴其增區(qū)間為[4kπ-\frac{4π}{3},4kπ+\frac{2π}{3}](k∈Z),
(3)由x∈[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}],\frac{x}{2}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}\frac{5π}{6}],
sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})∈[\frac{1}{2},1],
∴3sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+3∈[\frac{9}{2},6],
∴當(dāng)\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6},即x=\frac{4π}{3},f(x)取最小值\frac{9}{2},
當(dāng)\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時(shí),即x=\frac{2π}{3}時(shí),f(x)取最大值為6.…12分

點(diǎn)評 本題考查用五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+φ)+b的圖象,以及函數(shù)的性質(zhì)、圖象變換,用五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+φ)+b的圖象,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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(1)求曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l:\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù))與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于E,求|EA|+|EB|的值.

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第1行1
第2行2   4   8
第3行16  32  64  128   256
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