Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：定義在R的奇函數(shù)f（x）滿足：
f（0）=0=f（3）=f（﹣3），
且f（﹣x）=﹣f（x），
又x＞0時，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，
∴[xf（x）]'＞0，函數(shù)h（x）=xf（x）在x＞0時是增函數(shù)，
又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函數(shù)；
∴x＜0時，h（x）是減函數(shù)，結合函數(shù)的定義域為R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，
可得函數(shù)y1=xf（x）與y2=﹣lg|x+1|的大致圖象如圖所示，

∴由圖象知，函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為3個．
故選：C．
由不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函數(shù)h（x）=xf（x）在x＞0時是增函數(shù)，
再由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得到h（x）=xf（x）為偶函數(shù)，
結合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出兩個函數(shù)y1=xf（x）與y2=﹣lg|x+1|的大致圖象，即可得出答案．