Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與a_n之間滿足S_n+a_n=1（n≥1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）設b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式可得2a_n=a_n-1，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=na_n=

n

2n

，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n+a_n=1（n≥1），∴當n≥2時，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減可得a_n+a_n-a_n-1=0，即2a_n=a_n-1．
當n=1時，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（II）b_n=na_n=

n

2n

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

22

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了遞推式的應用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．