【題目】已知拋物線E:過點Q(1,2),F為其焦點,過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A,B兩點,動點P滿足△PAB的垂心為原點O.
(1)求拋物線E的方程;
(2)求證:動點P在定直線m上,并求的最小值.
【答案】(1);(2)證明見解析,的最小值為.
【解析】
(1)將點的坐標(biāo)代入拋物線方程,由此求得的值,進(jìn)而求得拋物線的方程.
(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程,寫出韋達(dá)定理,設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo),由此判斷出動點在定直線上.求得的表達(dá)式,利用基本不等式求得其最小值.
(1)將點坐標(biāo)代入拋物線方程得,所以.
(2)由(1)知拋物線的方程為,所以,設(shè)直線的方程為,設(shè),由消去得,所以.由于為三角形的垂心,所以,所以直線的方程為,即.同理可求得直線的方程為.由,結(jié)合,解得,所以在定直線上.
直線的方程為,到直線的距離為,到直線的距離為.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知圓的方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為直線的傾斜角).
(1)寫出圓的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)若為圓上任意一點,求點到直線的距離的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),若在處的切線方程為.
(I)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)證明,函數(shù)在x軸的上方無圖像;
(Ⅲ)確定實數(shù)k的取值范圍,使得存在,當(dāng)時,恒有.
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【題目】已知
(1)若 ,且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的范圍;
(2)若函數(shù)有兩個極值點 , 且存在 滿足 ,令函數(shù) ,試判斷 零點的個數(shù)并證明.
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【題目】如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點.
(1)證明:平面;
(2)求二面角平面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),且的極小值為.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)若過點可作三條不同的直線與曲線相切,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2:ρ2﹣4ρcosθ+3=0.
(1)求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點P在曲線C1上,點Q曲線C2上,求|PQ|的最小值.
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【題目】已知(為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(2)當(dāng)時,關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】己知圓F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3),圓F2:(x-1)2+y2= (4-r)2.
(1)證明:圓F1與圓F2有公共點,并求公共點的軌跡E的方程;
(2)已知點Q(m,0)(m<0),過點E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點,記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k2,是否存在實數(shù)m使得k(k1+k2)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.
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