Question

【題目】已知

（1）若 ，且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；

（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn) ， 且存在 滿足 ，令函數(shù) ，試判斷 零點(diǎn)的個數(shù)并證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）函數(shù)有兩個零點(diǎn)和

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0（2）先判斷為一個零點(diǎn)，然后再求導(dǎo)，根據(jù)，化簡求得另一個零點(diǎn)。

解析：（1）當(dāng)時， ，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時， 恒成立．

函數(shù)的對稱軸為．

①，即時， ，

即，解之得，解集為空集；

②，即時，

即，解之得，所以

③，即時，

即，解之得，所以

綜上所述，當(dāng) 函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增．

（2）∵有兩個極值點(diǎn)，

∴是方程的兩個根，且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵

∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∵，∴是函數(shù)的一個零點(diǎn)．

由題意知：

∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的兩個根，

∴， ,

∴

∵函數(shù)圖像連續(xù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時， ，當(dāng)時，當(dāng)時，

∴函數(shù)有兩個零點(diǎn)和．