Question

設f（x）=x³+ax²+bx+c，又k是一個常數，已知當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根，當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，現(xiàn)給出下列命題：
（1）f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（3）f（x）+3=0的任一實根大于f（x）-1=0的任一實根．
（4）f（x）+5=0的任一實根小于f（x）-2=0的任一實根．
其中錯誤命題的個數為（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：因為函數是一元三次函數，所以是雙峰函數，根據題目給出的函數在不同范圍內實根的情況，畫出函數f（x）的簡圖，然后借助于圖象，逐一分析四個命題即可得到正確答案．

解答：解：因為f（x）=x³+ax²+bx+c，且f（x）-k=0在k＜0或k＞4時只有一個實數根，在0＜k＜4時有三個實數根，
所以其圖象近似如下圖，

因為f′（x）=0的根是函數f（x）的極值點的橫坐標，
由圖象可知，f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根，所以命題（1）正確；
f（x）=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根，所以命題（2）正確；
f（x）+3=0的實根小于f（x）-1=0的實根，所以命題（3）不正確；
f（x）+5=0的實根小于f（x）-2=0的實根，所以命題（4）正確．
故選D．

點評：本題考查了命題的真假及應用，考查了利用導函數研究函數的極值，考查了數形結合的數學思想，解答此題的關鍵是能夠根據方程f（x）-k=0的根的情況作出函數f（x）的圖象的大致形狀，此題是中擋題．