【題目】已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，橢圓的短軸長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線，過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)，分別與橢圓交于點(diǎn)A，B和C，D.

①求的值；

②設(shè)的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)為N，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)為，得到，再由離心率結(jié)合計(jì)算可得橢圓方程；

（2）①由直線，過右焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出弦長(zhǎng)，再由兩直線的斜率乘積為，將弦長(zhǎng)中的斜率變?yōu)?/span>可得弦，相加即可得解；

②由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出、的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知的中點(diǎn)在軸上，所以整理后利用基本不等式即可得到面積的最值；

解：（1）依題意可得解得，故橢圓的方程為；

（2）①設(shè)的方程為，，

聯(lián)立消去并整理得到

，

于是

同理可得

②由①知，，，，

所以，

所以的中點(diǎn)

所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

所以面積的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線的參數(shù)方程，若直線與曲線有公共點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方形中，，是中點(diǎn)，將和分別沿若、翻折，使得、兩點(diǎn)重合，則所形成的立體圖形的外接球的表面積是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能下表是近八年來我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計(jì)表：

年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼x

1

2

3

4

5

6

7

8

感染者人數(shù)單位：萬(wàn)人

85

請(qǐng)根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，畫出這八年我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；

請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；

建立y關(guān)于x的回歸方程系數(shù)精確到，預(yù)測(cè)2019年我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)．

參考數(shù)據(jù)：；，，，

參考公式：相關(guān)系數(shù)，

回歸方程中， ，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線方程為，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線、的斜率之和為，試證明：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，直線必過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的頻數(shù)分布表.

表1，設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

2

18

48

14

16

2

（1）請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元，質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元，其它的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率，現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球2分，取出藍(lán)球得3分．

（1）當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，從該袋子中任�。ㄓ蟹呕�，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和．，求ξ分布列；

（2）從該袋子中任�。ㄇ颐壳蛉〉降臋C(jī)會(huì)均等）1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若，求a：b：c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離，

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