Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線性變換σ將點(diǎn)（1，0）變換為（1，0），將點(diǎn)（0，1）變換為（1，2）．
（Ⅰ）試寫出線性變換σ對(duì)應(yīng)的二階矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值及屬于相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：變換、矩陣的相等,特征值、特征向量的應(yīng)用

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，可求線性變換σ對(duì)應(yīng)的二階矩陣A
（Ⅱ）根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A=

a b c d

，則

a b c d

1 0

=

a c

=

1 0

，

a b c d

1 2

=

b d

=

1 2

，
∴a=b=1，c=0，d=2，
∴A=

1 1 0 2

；
（Ⅱ）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ₁=1，λ₂=2，
設(shè)λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

x y

，
則由λ₁α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，則y=0，
∴矩陣M的一個(gè)特征值λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 0

，
同理可得矩陣M的一個(gè)特征值λ₂=2對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩陣變換，考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．