Question

設(shè)f（x）在R上單調(diào)的是奇函數(shù)，若f（k•log₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，?t＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，可得f（k•log₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2），由f（0）＞f（2），f（x）在R上為單調(diào)的函數(shù)，可知f（x）在R上為單調(diào)遞減的函數(shù)，從而可脫去外層函數(shù)的“外衣”，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：依題意，得：f（k•log₂t）＞-f（log₂t-log₂²t-2）=f（log₂²t-log₂t+2），
令t=1，則f（0）＞f（2），由于f（x）在R上為單調(diào)的函數(shù)，
所以，f（x）在R上為單調(diào)遞減的函數(shù)，
所以k•log₂t＜log₂²t-log₂t+2，即log₂²t-（k+1）log₂t+2＞0恒成立，
所以，△=（k+1）²-4×1×2＜0，解得：-2

2

-1＜k＜2

2

-1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-2

2

-1，2

2

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，依題意，分析得到f（x）在R上為單調(diào)遞減的函數(shù)是關(guān)鍵，考查二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于中檔題．