Question

在△ABC中，設(shè)

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若|

BA

+

BC

|=2，且B∈[

π

3

，

2π

3

]，求

BA

•

BC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，知

CA

•(

BC

-

AB

)=0，由

AB

+

BC

+

CA

=

0

，知

CA

=-(

AB

+

BC

)，所以

AB

2-

BC

2 =

0

，由此能夠證明△ABC為等腰三角形．
（2）由B∈[

π

3

，

2π

3

]，知cosB∈[-

1

2

，

1

2

]，設(shè)|

AB

| =|

BC

| =a，由|

BA

+

BC

|  =2，知a²+a²+2a²cosB=4，所以a2=

2

1+cosB

，由此能夠求出

BA

•

BC

的取值范圍．

解答：解：（1）∵

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，
∴

CA

•(

BC

-

AB

)=0，
∵

AB

+

BC

+

CA

=

0

，（3分）
∴

CA

=-(

AB

+

BC

)，
∴-(

AB

+

BC

)•(

BC

-

AB

)=

0

，
∴

AB

2-

BC

2 =

0

，
所以|

AB

|2=|

BC

|2，
即|AB|=|BC|，
故△ABC為等腰三角形．（6分）
（2）∵B∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴cosB∈[-

1

2

，

1

2

]，
設(shè)|

AB

| =|

BC

| =a，
∵|

BA

+

BC

|  =2，
∴|

BA

+

BC

|2=4，（9分）
∴a²+a²+2a²cosB=4，
∴a2=

2

1+cosB

，
∴

BA

•

BC

=|

BA

| •|

BC

| cosB=a2，
cosB=

2cosB

1+cosB

=2-

2

1+cosB

∈[-2，

2

3

]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．