如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，且∠CBE=90°，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜
2
）
（1）能否說明對任意a∈(0，
2
)，恒有MN∥平面CBE？
（2）當(dāng)a為何值時，MN的長最短？
考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，證明MNQP是平行四邊形．然后證明MN∥平面CBE且與a的大小關(guān)系無關(guān)．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，脫光光
CP
1
=
a
2
，
BQ
1
=
a
2
，求出MN的表達式，然后求解最小值．
解答： 解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，
依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形．
PQ?平面CBE，MN?平面CBE，MN∥平面CBE且與a的大小關(guān)系無關(guān)．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，AC=BF=
2
，
CP
1
=
a
2
，
BQ
1
=
a
2
，CP=BQ=
2
2
a
MN=PQ=
(1-CP)2+BQ2)
=
(a-
2
2
)2+
1
2
=
1-
2
a+a2
，（0＜a＜
2
）
∴當(dāng)a=
2
2
，即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為
2
2
．
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，空間兩點間距離公式求解最值問題，考查空間想象能力以及計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，且對任意x∈R都有f（x+5）=f（x）成立，又f（1）=1，f（2）=-3，則f（3）+f（4）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：an•an+1=λ•2n．，n∈N*，λ≠0，且a1=
2
．
（1）求證：
an+2
an
=2；
（2）是否存在λ，使得{an}為等比數(shù)列？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，若sin（π-A）=
3
5
，tan（π+B）=
12
5
，則cosC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．曲線C的方程是ρ=2
2
sin（θ-
π
4
），直線l的參數(shù)方程為
x=1+tcosα
y=2+tsinα
（t為參數(shù)，0≤a＜π），設(shè)P（1，2），直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）當(dāng)a=0時，求|AB|的長度；    
（2）求|PA|2+|PB|2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知頂點在坐標原點，焦點為P（1，0）的拋物線C與直線y=2x+b相交于A，B兩點，|AB|=3
5
．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）求b的值；
（3）當(dāng)拋物線上一動點P從點A到B運動時，求△ABP面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=4，AC=3，M，N分別是AB，AC的中點．
（Ⅰ）若A=60°，用
AB
，
AC
表示
BN
，
CM
，并求
BN
•
CM
的值；
（Ⅱ）若
BN
⊥
CM
，求cos（A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B，C是圓O上的三點，線段AB交CO延長線于點P，若
OC
=λ 
OA
+μ 
OB
．（λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是（　　）
A、（-1，0）
B、（-1，+∞）
C、（-∞，-1）
D、（-1，0）∪（0，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列函數(shù)（1）y=x2+|x|+2，x≤0（2）y=t2-t+2，t≤0（3）y=x2-|x|+2，x≥0（4）y=（
x
）4+
x2
+2，其中與函數(shù)y=x2-x+2，x≤0相等的有（　　）
A、（1）
B、（1）（2）
C、（1）（2）（4）
D、（1）（3）（4）

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