Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,復合三角函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：首先將解析式三角恒等變形為y=Asin（ωx+φ）的形式然后解得相關問題

解答： 解：因為f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+2sin（x-

π

4

）cos（

π

2

-x-

π

4

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
所以（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
因為y=sinx的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
（2）因為x∈[-

π

12

，

π

12

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，0]，所以sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，0]，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

12

]上的值域是[-

1

2

，0]．

點評：本題考查了三角函數(shù)的恒等變形以及三角函數(shù)的性質運用；關鍵是正確化簡三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用簡單三角函數(shù)性質解答．