Question

一個三角形數表按如下方式構成：第一行依次寫上n(n≥4)個數，在上一行的每相鄰兩數的中間正下方寫上這兩數之和，得到下一行，依此類推．記數表中第i行的第j個數為f(i，j)．

(1)若數表中第i(1≤i≤n－3)行的數依次成等差數列，求證：第i＋1行的數也依次成等差數列；

(2)已知f(1，j)＝4j，求f(i，1)關于i的表達式；

(3)在(2)的條件下，若f(i，1)＝(i＋1)(a_i－1)，b_i＝，試求一個函數g(x)，使得S_n＝b₁g(1)＋b₂g(2)＋…＋b_ng(n)＜，且對于任意的m∈(，)，均存在實數?，使得當n＞λ時，都有S_n＞m．

Answer 1

答案：
解析：

(1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得 　　(其中為第行數所組成的數列的公差)　　(4分) 　　(2)第一行的數依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列．設第行的數公差為，則，則 　　所以 　　 　　　　(10分) 　　(3)由，可得 　　所以＝ 　　令，則，所以 　　要使得，即，只要＝， 　　，，所以只要， 　　即只要，所以可以令 　　則當時，都有． 　　所以適合題設的一個函數為　　(16分)