Question

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成：第一行依次寫上n(n≥4)個(gè)數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推．記數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)為f(i，j)．

(1)若數(shù)表中第i(1≤i≤n－3)行的數(shù)依次成等差數(shù)列，求證：第i＋1行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；

(2)已知f(1，j)＝4j，求f(i，1)關(guān)于i的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，若f(i，1)＝(i＋1)(a_i－1)，b_i＝，試求一個(gè)函數(shù)g(x)，使得S_n＝b₁g(1)＋b₂g(2)＋…＋b_ng(n)＜，且對(duì)于任意的m∈(，)，均存在實(shí)數(shù)?，使得當(dāng)n＞λ時(shí)，都有S_n＞m．

Answer 1

答案：
解析：

(1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為，則由題意可得 　　(其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差)　　(4分) 　　(2)第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列．設(shè)第行的數(shù)公差為，則，則 　　所以 　　 　　　　(10分) 　　(3)由，可得 　　所以＝ 　　令，則，所以 　　要使得，即，只要＝， 　　，，所以只要， 　　即只要，所以可以令 　　則當(dāng)時(shí)，都有． 　　所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為　　(16分)