Question

已知四面體ABCD的棱長都相等，E、F、G、H分別為AB、AC、AD以及BC的中點，求證：面EHG⊥面FHG．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：首先通過設棱長證出△EGH是直角三角形，做GH中點K，連EK，可得EK=

2

，同理可得FK=

2

，在△EKF中，EF=2，EK=

2

，F(xiàn)K=

2

所以△EKF是直角三角形，即EK⊥FK，最后通過線線垂直，進一步得出線面垂直，最終得出結論．

解答： 證明：四面體ABCD的棱長都相等，E、F、G、H分別為AB、AC、AD以及BC的中點，
設棱長AB=4
在直角△AGH中，利用勾股定理可得：GH=2

2

在△EHG中，EH=EG=2，所以根據(jù)勾股定理的逆定理得：△EGH是直角三角形
取GH中點K，連EK，可得EK=

2

同理可得FK=

2

在△EKF中，EF=2，EK=

2

，F(xiàn)K=

2

所以△EKF是直角三角形，即EK⊥FK，
又EK⊥GH，F(xiàn)K⊥GH，
EK⊥平面FGH
EK在平面EGH內
則面EHG⊥面FHG

點評：本題考查的知識點：勾股定理和逆定理的應用，線面垂直的判定，面面垂直的判定以及相關的運算問題．