Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為8，離心率為

1

2

，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）在橢圓上任取一點P，求P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知2a=8，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）法一：設與l平行且與橢圓相切的直線方程為x-2y+m=0，聯立

x-2y+m=0 x2 16 + y2 12 =1

，得：4x²+2mx+m²-48=0，當P為l₁與橢圓的切點時距離最小，由此能求出P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值．
（2）法二：設橢圓上任一點P坐標為（4cosθ，2

3

sinθ)，由此利用兩點間距離公式能求出P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值．

解答： （本小題共14分）
（1）解：由題意知2a=8，

c

a

=

1

2

，
∴a=4，c=2，b²=16-4=12，
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）解法一：設與l平行且與橢圓相切的直線方程為x-2y+m=0，
聯立

x-2y+m=0 x2 16 + y2 12 =1

，
消去y得：4x²+2mx+m²-48=0，…（8分）
令△=4m²-16（m²-48）=0，得m=±8，…（10分）
當m=-8時，所得直線l₁：x-2y-8=0，…（11分）
當P為l₁與橢圓的切點時距離最小，
此時距離等于直線l₁與直線l的距離．
直線l₁與直線l距離d=

|-12-(-8)|

12+(-2)2

=

4 5

5

∴P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值為

4 5

5

．…（14分）
（2）解法二：∵橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴設橢圓上任一點P坐標為（4cosθ，2

3

sinθ)，…（8分）
點P到直線l的距離：
d=

|4cosθ-2×2 3 sinθ-12|

12+(-2)2

=

|8cos( π 3 +θ)-12|

5

，…（12分）
當cos(

π

3

+θ)=1時，
dmin=

4 5

5

．
∴P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值為

4 5

5

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查點到直線的距離的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．