Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+1=0平行．求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)小于0的解集，設(shè)出解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率，結(jié)合切線與直線6x+y+1=0平行時(shí)斜率相等，列出方程，解出待定系數(shù)．

解答： 解：∵f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可設(shè)f（x）=ax（x-5）=ax²-5ax，（a＞0）．
∵f′（x）=2ax-5a，
∴f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率是：f′（1）=-3a=-6．
∴a=2，
∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線的位置關(guān)系和二次不等式的解法，以及函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．