Question

已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）請問是否存在直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交不同兩點M、N且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有，據(jù)此驗證4個點知（3，-2）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x，設(shè)C₁：，把點（-2，0）（）代入得：，由此能夠求出C₁方程．
（Ⅱ）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設(shè)其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，再由韋達(dá)定理能夠?qū)С龃嬖谥本�l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有，據(jù)此驗證4個點知（3，-2）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x（2分）
設(shè)C₁：，把點（-2，0）（）代入得：
解得
∴C₁方程為（5分）
（Ⅱ）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；（6分）
當(dāng)直線l斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設(shè)其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是，①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即②（10分）
由，即，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①、②代入（*）式，得，解得k=±2；（11分）
所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．