Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

2

2

）和（

2

2

，

3

2

），其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點，取點A（0，

2

），E（x₀，0），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D．點G是點D關(guān)于原點的對稱點．證明：直線QG與橢圓C只有一個公共點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

1 a2 + 1 2 b2 =1 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），

AE

=(x0，-

2

)，

AD

=(x1，-

2

)，由

AE

•

AD

=x1x0+2=0，得x1=-

2

x0

，所以l_QG：y=

2-x0x

2y0

，代入橢圓方程，得：x2+2•(

2-x0x

2y0

)2=2，由△=0能證明直線QG與橢圓C只有一個公共點．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

2

2

）和（

2

2

，

3

2

），
∴

1 a2 + 1 2 b2 =1 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），
∴

AE

=(x0，-

2

)，

AD

=(x1，-

2

)，
由題意知AE與AD垂直，
∵

AE

•

AD

=x1x0+2=0，
∴x1=-

2

x0

，
∴kQG=

y0

x0- 2 x0

=

y0x0

x02+2

=

x0

-2y0

，
∴l(xiāng)_QG：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
整理，得y=

2-x0x

2y0

，（*）
將（*）式代入橢圓方程，得：x2+2•(

2-x0x

2y0

)2=2，
整理，得2x2-4x0x+2x02=0，
∴△=(-4x0)2-4•2•2x02
=16x₀²-16x02=0．
∴直線QG與橢圓C只有一個公共點．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓只有一個公共點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運用．