Question

數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列且 b₁=a₁，b₄=a₁+a₂+a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

1

bnbn+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，依題意，可求得b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，從而可求得d及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法易知c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），繼而可證結(jié)論成立．

解答： 解：（I）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，又an=2n-1
∴b₁=a₁=1，b₄=1+3d=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7，
∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1------------（5分）
（II）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

------------（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項公式及裂項法求和，考查運算能力，屬于中檔題．