Question

18．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范圍；
（II）若$\frac{4}{a}+\frac{1}≥|{2x-1}|-|{x+2}|$恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由基本不等式可得；
（Ⅱ）問題轉化為|2x-1|-|x+1|≤4，去絕對值化為不等式，解不等式可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時“=”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，
∴$\frac{1}$+$\frac{4}{a}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥9，
故$\frac{4}{a}+\frac{1}≥|{2x-1}|-|{x+2}|$恒成立，
則|2x-1|-|x+2|≤9，
當x≤-2時，不等式化為1-2x+x+2≤9，解得-6≤x≤-2，
當-2＜x＜$\frac{1}{2}$，不等式化為1-2x-x-2≤9，解得-2＜x＜$\frac{1}{2}$，
當x≥$\frac{1}{2}$時，不等式化為2x-1-x-2≤9，解得$\frac{1}{2}$≤x≤12
綜上所述x的取值范圍為[-6，12]．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，分段函數(shù)知識，考查運算能力，轉化思想以及分類討論思想，是一道中檔題．