Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AD=

2

AB，E為線段A₁D上一點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)E為A₁D的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線A₁B∥平面EAC；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)E使二面角E-AC-D為30°？若存在，求

A1E

ED

，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連EO，證明EO∥A₁B，利用仔細(xì)與平面平行的判定定理證明直線A₁B∥平面EAC．
（Ⅱ） 過(guò)E作EG⊥AD于G，過(guò)G作GH⊥AC于H，連EH，說(shuō)明∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，設(shè)EG=x，則DG=x，通過(guò)解三角形求出x，然后求出

A1E

ED

=3．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連EO，
由E，O分別是A₁D，BD的中點(diǎn)，故EO∥A₁B，…（4分）
∵EO?平面EAC，A₁B?平面EAC，
所以直線A₁B∥平面EAC．…（6分）
（Ⅱ）解：過(guò)E作EG⊥AD于G，過(guò)G作GH⊥AC于H，連EH，
∴EG⊥底面ABCD，∴EG⊥AC，
∴AC⊥面EGH，∴EH⊥AC，
∴∠EHG為二面角E-AC-D的平面角．…（10分）
設(shè)EG=x，則DG=x，
∴AG=2-x，又

HG

CD

=

AG

AC

，∴

HG

2

=

2-x

6

，∴HG=

2-x

3

，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

3 x

2-x

=

3

3

，∴x=

1

2

，
所以存在點(diǎn)E滿足條件，且

A1E

ED

=3．…（15分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角以及仔細(xì)與平面平行的判定，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．