已知函數(shù)f(x)=lnx,函數(shù)y=g(x)為函數(shù)f(x)的反函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)x>1時(shí),g(x)>ax+1恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅱ)對于x>0,均有f(x)≤bx≤g(x),求b的取值范圍.
考點(diǎn):反函數(shù),函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立,得到a的表達(dá)式,求出a的最大值即可.
(Ⅱ)對于x>0,均有f(x)≤bx≤g(x),轉(zhuǎn)化為
lnx
x
≤b≤
ex
x
,分別令F( x)=
lnx
x
,G(x)=
ex
x
,分別利用導(dǎo)數(shù)求出F( x)max=F(e)=
1
e
,G( x)min=G(1)=e,問題得以解決.
解答: 解(Ⅰ)由y=lnx解得x=ey,即:y=ex
∵x>0,∴y∈R
所以函數(shù)f(x)=lnx(x>0)反函數(shù)為y=ex(x∈R)
∴g(x)=ex,
∵x>1時(shí),g(x)>ax+1恒成立
∴a
ex
x
-
1
x

令h(x)=
ex
x
-
1
x
,
則h′(x)=
ex(x-1)
x2
+
1
x2
,
∴h′(x)=
ex(x-1)
x2
+
1
x2
>0恒成立,
∴h(x)在(1,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù),
∴h(x)min=h(1)=e-1
故a的取值范圍為(-∞,e-1]
(Ⅱ)∵x>0,均有f(x)≤bx≤g(x),
∴l(xiāng)nx≤bx≤ex,
lnx
x
≤b≤
ex
x

令F( x)=
lnx
x
,
則F′( x)=
1-lnx
x2

當(dāng)x∈(0,e),F(xiàn)′( x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(e,+∞),F(xiàn)′( x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=e時(shí),F(xiàn)( x)max=F(e)=
1
e

再G(x)=
ex
x
,
則G′(x)=
ex(x-1)
x2

當(dāng)x∈(1,+∞),G′( x)>0,G(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(0,1),G′( x)<0,G(x)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=1時(shí),G( x)min=G(1)=e,
1
e
≤b≤e,
故b的取值范圍為[
1
e
,e]
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值,考查恒成立問題,考查分類討論思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
2
2
且與拋物線y2=4x有公共焦點(diǎn)F2
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N傾斜角互補(bǔ),證明:直線l過定點(diǎn),并求該點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若橢圓C上的點(diǎn)P(1,
3
2
)到F1,F(xiàn)2的距離和等于4.
(Ⅰ)寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M是橢圓C的動(dòng)點(diǎn),MF1交橢圓與點(diǎn)N,求線段MN中點(diǎn)T的軌跡方程;
(Ⅲ)直線l過定點(diǎn)M(0,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若∠A0B為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax2+bx,且f′(-1)=0.
(1)試用含a的代數(shù)式表示b;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)a=3時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1<x2)處取得極值,記點(diǎn)M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),證明:線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若F1,F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),且
PF1
PF2
=-
5
4
,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的點(diǎn)A,B,且
OA
OB
>0,(其中O為原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),且OP⊥OQ.求:
(1)
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
;
(2)|OP|2+|OQ|2的最大值;
(3)S△OPQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以40千米/時(shí)的速度向北偏東30°航行的科學(xué)探測船上釋放了一個(gè)探測氣球,氣球順風(fēng)向正東飄去,3分鐘后氣球上升到1千米處,從探測船上觀察氣球,仰角為30°,求氣球的水平飄移速度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓(x+1)2+y2=8的圓心為M,N(t,0),t>0且t≠2
2
-1,設(shè)Q為圓上任一點(diǎn),線段QN的垂直平分線交直線MQ于點(diǎn)P.
(1)試討論動(dòng)點(diǎn)P的軌跡類型;
(2)當(dāng)t=1時(shí),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過C上任一點(diǎn)P作直線l,l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn),l與圓M交于點(diǎn)AB,若△ABN的面積是
31
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若方程|ax|=x+a(a>0)有兩個(gè)解,則a的取值范圍是
 

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