已知圓(x+1)2+y2=8的圓心為M,N(t,0),t>0且t≠2
2
-1,設(shè)Q為圓上任一點,線段QN的垂直平分線交直線MQ于點P.
(1)試討論動點P的軌跡類型;
(2)當(dāng)t=1時,設(shè)動點P的軌跡為曲線C,過C上任一點P作直線l,l與曲線C有且只有一個交點,l與圓M交于點AB,若△ABN的面積是
31
,求直線l的方程.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題|PN|=|PQ|,當(dāng)0<t<2
2
-1
時,動點P的軌跡是以M,N為焦點,2
2
為長軸的橢圓;當(dāng)t>2
2
-1
時,動點P的軌跡是以M,N為焦點,2
2
為實軸長的雙曲線.
(2)t=1時,曲線C的方程是
x2
2
+y2=1
,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
消,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由此利用圓心M(-1,0)到直線l的距離、弦長公式結(jié)合已知條件能求出直線l的方程.
解答: 解:(1)由題|PN|=|PQ|,
當(dāng)0<t<2
2
-1
時,點N在圓M內(nèi),點P在線段MQ內(nèi),
|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=2
2
>t+1

∴動點P的軌跡是以M,N為焦點,2
2
為長軸的橢圓,…2分
當(dāng)t>2
2
-1
時,點N在圓M外,點P在線段MQ的延長線上,
||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=2
2
<t+1

∴動點P的軌跡是以M,N為焦點,2
2
為實軸長的雙曲線.…5分
(2)由(1)知t=1時,
動點P的軌跡是以M(-1,0),N(1,0)為焦點,2
2
為長軸長的橢圓
a=
2
,c=1
,∴b=1
∴曲線C的方程是
x2
2
+y2=1
…6分
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m
x2
2
+y2=1
y=kx+m
消y并整理成(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0(*)
∵l與曲線C有且只有一個交點,
∴(*)方程有且只有一個實數(shù)解,
∴△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,
即有m2=1+2k2…7分
∵圓心M(-1,0)到直線l的距離為
|m-k|
1+k2
,
∴弦長|AB|=2
8-(
|m-k|
1+k2
)
2
=2
8-
(m-k)2
1+k2
,…9分
點N(1,0)到直線l的距離為d=
|m+k|
1+k2
,
∴△ABN的面積為S=
1
2
|AB|×d

∴S=
8-
(m-k)2
1+k2
×
|m+k|
1+k2

=
8-
(m-k)2
1+k2
×
(m+k)2
1+k2

=
8(m+k)2
1+k2
-
(m2-k2)2
(1+k2)2

=
16(mk-1)
1+k2
+23
,
∵△ABN的面積是
31
,∴
16(mk-1)
1+k2
+23
=
31
,
解得得2mk=3+k2
∴4m2k2=(3+k22⇒4(1+2k2)k2=9+6k2+k4⇒(k2+1)(7k2-9)=0
k2=
9
7
,k=±
3
7
7

當(dāng)k=
3
7
7
時,代入2mk=3+k2m=
5
7
7

當(dāng)k=-
3
7
7
時,代入2mk=3+k2m=-
5
7
7
…12分
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線l方程為x=
2
x=-
2
經(jīng)檢驗不滿足條件
綜上所求直線方程為y=
3
7
7
x+
5
7
7
y=-
3
7
7
x-
5
7
7
.…13分.
點評:本題考查點的軌跡類型的討論,考查直線方程的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其長軸長是短軸長的兩倍,以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為
5
π.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓相交于A,B兩點,設(shè)直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0).△OAB的面積為S,以O(shè)A,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2,若k1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,求
S1+S2
S
的取值范圍.

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已知向量
a
=(cosx,sinx)向量
b
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a
b

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π
4
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a
x
+lnx,若對任意的a∈[
1
e
,2e2],函數(shù)f(x)滿足任意的x∈[1,e]都有f(x)<m,求實數(shù)m的取值范圍.

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x
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