Question

已知圓（x+1）²+y²=8的圓心為M，N（t，0），t＞0且t≠2

2

-1，設(shè)Q為圓上任一點，線段QN的垂直平分線交直線MQ于點P．
（1）試討論動點P的軌跡類型；
（2）當(dāng)t=1時，設(shè)動點P的軌跡為曲線C，過C上任一點P作直線l，l與曲線C有且只有一個交點，l與圓M交于點AB，若△ABN的面積是

31

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題|PN|=|PQ|，當(dāng)0＜t＜2

2

-1時，動點P的軌跡是以M，N為焦點，2

2

為長軸的橢圓；當(dāng)t＞2

2

-1時，動點P的軌跡是以M，N為焦點，2

2

為實軸長的雙曲線．
（2）t=1時，曲線C的方程是

x2

2

+y2=1，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用圓心M（-1，0）到直線l的距離、弦長公式結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題|PN|=|PQ|，
當(dāng)0＜t＜2

2

-1時，點N在圓M內(nèi)，點P在線段MQ內(nèi)，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=2

2

＞t+1
∴動點P的軌跡是以M，N為焦點，2

2

為長軸的橢圓，…2分
當(dāng)t＞2

2

-1時，點N在圓M外，點P在線段MQ的延長線上，
∴||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=2

2

＜t+1
∴動點P的軌跡是以M，N為焦點，2

2

為實軸長的雙曲線．…5分
（2）由（1）知t=1時，
動點P的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點，2

2

為長軸長的橢圓
∴a=

2

，c=1，∴b=1
∴曲線C的方程是

x2

2

+y2=1…6分
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消y并整理成（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0（*）
∵l與曲線C有且只有一個交點，
∴（*）方程有且只有一個實數(shù)解，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即有m²=1+2k²…7分
∵圓心M（-1，0）到直線l的距離為

|m-k|

1+k2

，
∴弦長|AB|=2

8-( |m-k| 1+k2 )2

=2

8- (m-k)2 1+k2

，…9分
點N（1，0）到直線l的距離為d=

|m+k|

1+k2

，
∴△ABN的面積為S=

1

2

|AB|×d，
∴S=

8- (m-k)2 1+k2

×

|m+k|

1+k2

=

8- (m-k)2 1+k2

×

(m+k)2 1+k2

=

8(m+k)2 1+k2 - (m2-k2)2 (1+k2)2

=

16(mk-1) 1+k2 +23

，
∵△ABN的面積是

31

，∴

16(mk-1) 1+k2 +23

=

31

，
解得得2mk=3+k²
∴4m²k²=（3+k²）²⇒4（1+2k²）k²=9+6k²+k⁴⇒（k²+1）（7k²-9）=0
∴k2=

9

7

，k=±

3 7

7

當(dāng)k=

3 7

7

時，代入2mk=3+k²得m=

5 7

7

當(dāng)k=-

3 7

7

時，代入2mk=3+k²得m=-

5 7

7

…12分
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l方程為x=

2

或x=-

2

經(jīng)檢驗不滿足條件
綜上所求直線方程為y=

3 7

7

x+

5 7

7

或y=-

3 7

7

x-

5 7

7

．…13分．

點評：本題考查點的軌跡類型的討論，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用．