Question

拋物線y²=4x上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱(chēng)軸的上、下兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，并且|FA|=2，|FB|=5．
（1）求直線AB的方程；
（2）在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求最大面積．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得F（1，0），由|FA|=2，得A（1，2）同理B（4，-4），由此能求出直線AB的方程．
（2）設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且-4≤y₀≤2，由點(diǎn)P到直線AB的距離求出當(dāng)y₀=-1時(shí)，d取最大值

9 5

10

，又|AB|=3

5

，由此能求出△PAB的面積最大值和P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由已知得F（1，0），
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x₁，y₁），
由|FA|=2，得x₁+1=2，x₁=1，所以A（1，2）
同理B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），
且-4≤y₀≤2
則點(diǎn)P到直線AB的距離：
d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，d取最大值

9 5

10

，（10分）
又|AB|=3

5

，（12分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

4

，-1)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．