Question

已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f(x)=(a+

b

x

) ex．
（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a＞0，b＞0，求證：f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，且f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點(diǎn)（a，b）形成的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若a=2，b=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a＞0，b＞0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可證明f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，且f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，建立不等式關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可求出由所有點(diǎn)（a，b）形成的平面區(qū)域的面積．

解答： 解：（1）若a=2，b=1，則f（x）=（2+

1

x

）e^x，
則f′（x）=（x+1）（2x-1）•

ex

x2

，
由f′（x）＞0，得x＞

1

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極小值，f（

1

2

）=4

e

．
（2）f′（x）=（ax²+bx-b）•

ex

x2

，
設(shè)g（x）=ax²+bx-b，
①證明：若a＞0，b＞0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-

b

2a

＜0，且g（1）=a＞0，
∴g（x）＞0，對(duì)一切x∈[1，2]恒成立，
又

ex

x2

＞0，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，
則

(a+ b 2 )e2＜0 (a- b 2 )e-2＜e-2

，即

2a+b＜0 2a-b＜2

，（•），
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對(duì)x∈[1，2]恒成立，即

g(1)=a＞0 g(2)=4a+b≥0

，（••），
在（•），（••）的條件下，b＜0，且1＜-

b

2a

≤2，
且g（-

b

2a

）=

-4ab-b2

4a

=-b(

4a+b

4a

)≥0恒成立，
綜上求由所有點(diǎn)（a，b）滿足的約束條件為

a＞0，b＜0 2a+b＜0 4a+b≥0 2a-b＜2

，
則不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB，其中A（

1

3

，-

4

3

），B（

1

2

，-1），C（1，0），
則形成的平面區(qū)域的面積S=S_△OAC-S_△OBC=

1

2

(

4

3

-1)=

1

6

．
即△OAB的面積為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)極值的求解，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．