Question

已知橢圓C₁的中心為原點O，離心率e=

2

2

，其一個焦點在拋物線C₂：y²=2px的準線上，若拋物線C₂與直線l：x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若點T滿足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₁上的點，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，試說明：是否存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，使得|TF₁|+|TF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由

y2=2px x-y+ 6 =0

，得y2-2py+2

6

p=0，由△=0得拋物線C₂的方程為：y2=4

6

x，從而c=

6

，由離心率e=

c

a

=

2

2

，能求出橢圓的標準方程．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，得x1x2+2

y

1

y2=0，由此利用已知條件推導出存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，且為橢圓

x2

60

+

y2

30

=1的兩個焦點，使得|TF₁|+|TF₂|為定值．

解答： 解：（I）由

y2=2px x-y+ 6 =0

，得y2-2py+2

6

p=0，
∵拋物線C₂：y²=2px與直線l：x-y+

6

=0相切，
∴△=4p²-8

6

p=0，解得p=2

6

．…（2分）
∴拋物線C₂的方程為：y2=4

6

x，其準線方程為：x=-

6

，∴c=

6

，
∵離心率e=

c

a

=

2

2

，∴a=

12

，b²=12-6=6，
故橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

6

=1．…（4分）
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，
得（x，y）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，…（6分）
設k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知：
k_OM•k_ON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x1x2+2

y

1

y2=0，…（8分）
∵點M，N在橢圓x²+2y²=12上，
∴x12+2y12=12，x22+2y22=12，
故x2+2y2=(x12+4x22+4x2x2)+2（y12+4y22+4y1y2）
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+y1y2)
=60+4（x₁x₂+2y₁y₂），
∴x²+2y²=60，從而可知：T點是橢圓

x2

60

+

y2

30

=1上的點，…（11分）
∴存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，且為橢圓

x2

60

+

y2

30

=1的兩個焦點，
使得|TF₁|+|TF₂|為定值，其坐標為F1(-

30

，0)，F2(

30

，0)．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的兩個定點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．