定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,以
a2+b2
為半徑的圓O為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
3
,直線l:2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作斜率存在且不為0的兩條不同的直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓都相切,試判斷l(xiāng)1與l2是否垂直?并說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)由于直線l:2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得
a2+b2
=
5
,化為a2+b2=5,結(jié)合離心率為
3
3
,解得即可;
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓C相切的直線為y=k(x-x0)+y0,與橢圓方程聯(lián)立,可得直線l1,l2的斜率k1,k2滿足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0,利用k1•k2=-1,可得直線l1與l2垂直.
解答: 解:(1)∵直線l:2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切,
a2+b2
=
5
,化為a2+b2=5,
∵e=
c
a
=
3
3
,解得a2=3,b2=2,c=1.
∴橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1
;(6分)
(2)由(1)知橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=5
設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x02+y02=5(7分)
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓C相切的直線為y=k(x-x0)+y0
聯(lián)立
y=k(x-x0)+y0
x2
3
+
y2
2
=1
消去y,得(2+3k2)x2-6k(kx0-y0)x+3(kx0-y0)2-6=0
由△=0,化簡(jiǎn)得(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0(10分)
設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2
∵直線l1,l2與橢圓C相切,
∴k1,k2滿足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0,
∴k1•k2=-1,故直線l1與l2垂直                                      (13分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相切問(wèn)題、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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定義在R上的函數(shù)y=f(x)具有下列性質(zhì):①f(-x)-f(x)=0;②f(x+1)•f(x)=1;③y=f(x)在[0,1]上為增函數(shù),則對(duì)于下述命題:
①y=f(x)為周期函數(shù)且最小正周期為4;
②y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且對(duì)稱軸只有1條;
③y=f(x)在[3,4]上為減函數(shù).
正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
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;
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