Question

【題目】已知拋物線G：y2=2px（p＞0），過焦點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M．
（Ⅰ）當直線l的傾斜角為 時，|AB|=16．求拋物線G的方程；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）問中的拋物線G，是否存在x軸上一定點N，使得|AB|﹣2|MN|為定值，若存在求出點N的坐標及定值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知
設直線l的方程為 ，
由 得：y2﹣2pty﹣p2=0△=4p2t2+4p2＞0，
…

當直線l傾斜角為 時，t=1，|AB|=4p=16，得p=4，
所以拋物線G的方程為y2=8x．
（Ⅱ）假設在x軸上存在點N（a，0）使得|AB|﹣2|MN|為定值．
由（Ⅰ）知|AB|=8（t2+1）
，yM=4t，
即M（4t2+2，4t）
若滿足題意 ，
即 解得a=3，k=1，
此時|AB|﹣2|MN|=6
綜上在x軸上存在點N（3，0）使得|AB|﹣2|MN|為定值6
注：其它做法酌情給分
【解析】（Ⅰ）設直線l的方程為 ， ，聯(lián)立 ，利用韋達定理以及弦長公式求解拋物線G的方程．（2）假設在x軸上存在點N（a，0）使得|AB|﹣2|MN|為定值．由（Ⅰ）知|AB|=8（t2+1）求出M的坐標，求出|MN|的表達式，然后轉化求解在x軸上存在點N（3，0）使得|AB|﹣2|MN|為定值6．