Question

解方程組

b+ 3 a-3 = 3 (a-1)2+b2 =1+ |a+ 3 b| 2

．

Answer 1

考點(diǎn)：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由方程的幾何意義根據(jù)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)得到方程組在新系下的方程，聯(lián)立后求得交點(diǎn)坐標(biāo)，還原后得答案．

解答： 解：方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)（a，b）到定點(diǎn)（1，0）的距離等于動(dòng)點(diǎn)（a，b）到定直線a+

3

b=0的距離加1，
令

a′=acos(- π 6 )+bsin(- π 6 ) b′=-asin(- π 6 )+bcos(- π 6 )

，
則定點(diǎn)（1，0）化為（

3

2

，

1

2

），定直線a+

3

b=0化為b′=0，
則方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

在新坐標(biāo)系下的方程為(a′-

3

2

)2=

3

2

(b′-

3

4

)  ①，
方程

b+ 3

a-3

=

3

化為：a′=2

3

  ②，
聯(lián)立①②得：

a′=2 3 b′= 21 4

．
則a=

3

2

a′+

1

2

b′=

45

8

，b=

3

2

b′-

1

2

a′=

13 3

8

．
∴原方程組的解為

a= 45 8 b= 13 3 8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的幾何意義，考查了坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．