Question

給出下列命題：
 ①若函數(shù)f（x）對定義城內(nèi)的任意x₁．x₂∈R，且x₁≠x₂，都有[f （x₁）-f （x₂）]（x₁-x₂）＞O．則f′（x）≥0．
 ②若定義域?yàn)镽的函數(shù)f （x》在（1，+∞）上單減，且函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（0）＞f（1）．
 ③若對函數(shù)y=f（x），恒有f（x+1）=-f（-x+1）成立，則函致y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1.0）對稱．
 其中為真命題的是（　�。�

• A、①②③
• B、①②
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由題意，得出

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0，即f′（x）≥0；
②由y=f（x+1）為偶函數(shù)，得出y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，又f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，得出f（0）＜f（1）；
③由函數(shù)y=f（x）恒有f（x+1）=-f（-x+1）成立，得出函致y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1.0）對稱．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）對定義城內(nèi)的任意x₁．x₂∈R，且x₁≠x₂，都有[f （x₁）-f （x₂）]（x₁-x₂）＞O，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0，即f′（x）≥0，∴①正確；
對于②，∵y=f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（x+1）=f（-x+1），即y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（0）=f（2），
又∵f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
∴f（0）＜f（1），∴②錯誤；
對于③，對函數(shù)y=f（x），恒有f（x+1）=-f（-x+1）成立，
令t=x+1，則f（t）=-f（t），∴f（t）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴函致y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1.0）對稱，③正確．
綜上，以上正確的命題是①③．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用的問題，函數(shù)的單調(diào)性與對稱性問題，是綜合題．