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3.已知\frac{π}{2}<α<π,0<β<\frac{π}{2}<α<π,tanα=-\frac{3}{4},cos(β-α)=\frac{5}{13},求sinβ的值.

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα,cosα,求得β-α的范圍,利用已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin(β-α),利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算得解.

解答 (本小題滿分12分)
解:∵\frac{π}{2}<α<π,且tanα=-\frac{3}{4},
∴sinα=\frac{3}{5},cosα=-\frac{4}{5};
∵α∈(\frac{π}{2},π),β∈(0,\frac{π}{2}),
∴-α∈(-π,-\frac{π}{2}),β-α∈(-π,0),
  又∵cos(β-α)=\frac{5}{13},
∴sin(β-α)=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^{2}}=-\frac{12}{13},
∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=(-\frac{12}{13})×(-\frac{4}{5})+\frac{5}{13}×\frac{3}{5}=\frac{63}{65}

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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