分析 (1)由已知中A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),求出向量→AC、→BC的坐標(biāo),根據(jù)→AC•→BC=-1,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及輔助角公式,求出sinα-cosα的值;
(2)由|→OA+→OC|=√13,代入向量模的計算公式,可以求出cosα,sinα,進而求出C點坐標(biāo),代入向量夾角公式,即可得到答案.
解答 解:(1)∵A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),
∴\overrightarrow{AC}=(cosα-3,sinα),\overrightarrow{BC}=(cosα,sinα-3),
由\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1,得cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=-1,
得sinα+cosα=\frac{2}{3},∴2sinαcosα=-\frac{5}{9}.
∴sinα-cosα=±\sqrt{(sinα-cosα)^{2}}=±\sqrt{(sinα+cosα)^{2}-4sinαcosα}=±\sqrt{1+\frac{10}{9}}=±\frac{\sqrt{19}}{3};
(2)∵|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{13},∴(3+cosα)2+sin2α=13,
∴cosα=\frac{1}{2},
∵α∈(0,π),∴α=\frac{π}{3},則sinα=\frac{\sqrt{3}}{2},
∴C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),則\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{3\sqrt{3}}{2},
設(shè)\overrightarrow{OB}與\overrightarrow{OC}的夾角為θ,則cosθ=\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
∵θ∈(0,π),sinθ=\frac{1}{2}.
點評 本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積表示兩個向量的夾角,其中(1)的關(guān)鍵是根據(jù)向量數(shù)量積公式,得到關(guān)于α 的三角方程,(2)的關(guān)鍵是求出cosα,sinα,是中檔題.
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A. | (-2,0)∪(1,+∞) | B. | (-∞,0)∪(1,2) | C. | (-∞,-2)∪(0,1) | D. | (-∞,1)∪(2,+∞) |
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A. | \frac{3}{5} | B. | \frac{2}{3} | C. | \frac{3}{4} | D. | \frac{1}{2} |
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A. | \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{16}=1 | B. | x2+y2=1 | C. | \frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{8}=1 | D. | \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1 |
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