Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”，若f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，則f（a）=b，f（b）=a，建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a²+a+k+1=0在區(qū)間（-1，-

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2

）內(nèi)有實數(shù)解進行求解．

解答： 解：因為函數(shù)f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，
所以a＜b＜0，
所以當x∈[a，b]時，函數(shù)單調(diào)遞減，則f（a）=b，f（b）=a，
即a²+k=b，b²+k=a，
兩式相減得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+k=b得a²+a+k+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1），
∴a＜-（a+1）＜0，
解得-1＜a＜-

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2

．
故關(guān)于a的方程a²+a+k+1=0在區(qū)間（-1，-

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2

）內(nèi)有實數(shù)解，
記h（a）=a²+a+k+1，
則 h（-1）＞0，h（-

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2

）＜0，即1-1+k+1＞0且

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4

-

1

2

+k+1＜0，
解得k＞-1且k＜-

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4

．
即-1＜k＜-

3

4

．
故答案為：（-1，-

3

4

）．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．