Question

已知直線l：y=2x-4與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點，T（t，0）（t＞0且t≠2）為x軸上任意一點，連接AT，BT并延長與拋物線C分別相交于A₁，B₁．
（1）設A₁B₁斜率為k，求證：k•t為定值；
（2）設直線AB，A₁B₁與x軸分別交于M，N，令S△ATM=S1，S△BTM=S2，S△B1TN=S3，S△A1TN=S4，若S₁，S₂，S₃，S₄構(gòu)成等比數(shù)列，求t的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),等比關(guān)系的確定

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出A（4，4），B（1，-2），設A1(

m2

4

，m)，B1(

n2

4

，n)，由kAT=kA1T，求出A₁（

t2

4

，-t），B1(t2，2t)，由此能證明k•t=4是定值．
（2）直線A₁B₁：y-2t=

4

t

(x-t2)，令y=0，得N（

t2

2

，0），由M（2，0），推導出S2=

1

2

S1，S₄=

t2

8

S1，S3=

t2

4

S1，由S₁，S₂，S₃，S₄構(gòu)成等比數(shù)列，能求出t的值．

解答： 解：（1）解方程組

y=2x-4 y2=4x

，得

x=4 y=4

，或

x=1 y=-2

，
∴A（4，4），B（1，-2），
設A1(

m2

4

，m)，B1(

n2

4

，n)，
∵T（t，0）（t＞0且t≠2）為x軸上任意一點，
連接AT，BT并延長與拋物線C分別相交于A₁，B₁，
∴kAT=kA1T，即

4

4-t

=

m

m2 4 -t

，
∴m²-4t=4m-tm，
∴m（m-4）=t（4-m），
m=4時，易得k•t=4是定值，
m≠4時，有m=-t，∴A₁（

t2

4

，-t），
同理：B1(t2，2t)，
∴k=

3t

t2- t2 4

=

4

t

，
∴k•t=4是定值．（5分）
（2）∵A₁（

t2

4

，-t），B1(t2，2t)，
∴直線A₁B₁：

y-2t

x-t2

=

-t-2t

t2 4 -t2

，
即y-2t=

4

t

(x-t2)，令y=0，得N（

t2

2

，0），
∵M（2，0），∴

S1

S2

=|

yA

yB

|=2，
∴S2=

1

2

S1，

S4

S1

=|

TM•yA1

TE•yA

|=|

t2 2 -t

t-2

•

t

4

|=

t2

8

，
∴S₄=

t2

8

S1，

S3

S1

=|

TN•yB1

TM•yA

|=|

t 2 (t-2)

t-2

•

2t

4

|=

t2

4

，
∴S3=

t2

4

S1，
∵S₁，S₂，S₃，S₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴t²=1，
∵t＞0，∴t=1，
∴t的值是1．（10分）

點評：本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系及其應用，涉及到等比數(shù)列、直線方程、拋物線等知識點，綜合性強，難度大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．