Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-m|和 g（x）=-x²+c（m，c為常數(shù)），且對(duì)任意x∈R，都有f（x+3）=f（-x）恒成立．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）滿足對(duì)任意x∈R，都有F（x）=F（-x），且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）．若存在x₁，x₂∈[-1，3]，使得|F（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x+3）=f（-x），得到函數(shù)關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱(chēng)，即可求m的值；
（Ⅱ）由條件得到函數(shù)F（x）為偶函數(shù)，然后將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可求出c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x-m|=2|x-

m

2

|，
對(duì)任意x∈R都有；f（x+3）=f（-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱(chēng)，
即

m

2

=

3

2

，解得m=3．
∴f（x）=|2x-3|
（Ⅱ）∵F（x）滿足對(duì)任意x∈R，都有F（x）=F（-x），
∴F（x）是偶函數(shù)，
0≤x≤

3

2

時(shí)：F（x）=f（x）=|2x-3|=3-2x

3

2

≤x≤3時(shí)：F（x）=f（x）=|2x-3|=2x-3
∵F（x）是偶函數(shù)
∴-

3

2

≤x≤0時(shí)，0≤-x≤

3

2

，F(xiàn)（-x）=3+2x=F（x）
∴-1≤x≤0時(shí)：F（x）=3+2x
∴在區(qū)間[-1，3]上F（x）最大值為3，最小值為0
若存在x₁和x₂屬于[-1，3]，恒有|F（x₁）-g（x₂）|＜1成立．
即是說(shuō)明：g（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值或者最小值與F（x）的最大值或者最小值之間的差值在1之內(nèi)，
g（x）=-x²+c在[-1，3]之間的最大值為c，最小值為x=3時(shí)取得為c-9，
∴|0-c|＜1或者|3-（c-9）|＜1或者|3-c|＜1或者|0-（c-9）|＜1
解得：-1＜c＜1或者11＜c＜13或者2＜c＜4或者8＜c＜10
∴c的取值范圍為（-1，13）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．