Question

在△ABC中角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大��；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周長的最大值及相應(yīng)的b，c值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形中的正弦定理及余弦定理將已知等式中的三角函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三邊間的關(guān)系，再利用余弦定理求出角A
另一方法：利用三角形的內(nèi)角和為π，將已知等式中的角B用角A，C表示，再利用兩角和的正弦公式展開，求出角C
（II）將a=2代入（I）得到的三邊間的關(guān)系，利用基本不等式將bc用b+c表示，解關(guān)于b+c的不等式求出b+c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b
∴a²=b²+c²-bc
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

另解：∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
從而cosA=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
4≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
∴b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取“=”．
∴當(dāng)b=c=2時，△ABC周長的最大值為6

點評：解決三角形問題，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理實現(xiàn)三角形中的邊、角間的相互轉(zhuǎn)化；利用基本不等式求函數(shù)的最值時，一定注意需要滿足的條件：一正、二定、三相等．