Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=a-ae^x
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處切線傾斜角為60°，求a的值；
（2）若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象在x=1處切線傾斜角為60°，可得f′（1）=tan60°．解出即可；
（2）x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂）?f（x）_max＜g（x）_min．通過對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）的最大值，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得g（x）的最小值．

解答： 解：（1）f′(x)=a+

1

x

（x＞0），
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=1處切線傾斜角為60°，∴f′（1）=tan60°．
即a+1=

3

．
∴a=

3

-1．
（2）x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂）?f（x）_max＜g（x）_min．
當(dāng)a≥0時，f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，
∵x＞0，∴f′(x)=

ax+1

x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）在（0，+∞）上不存在最大值，
因此a≥0時不合題意．
當(dāng)a＜0時，f′(x)=

ax+1

x

=0，得x=-

1

a

．
當(dāng)x∈(0，-

1

a

)時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(-

1

a

，+∞)時，f（x）單調(diào)遞減，
故x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，
而當(dāng)a＜0時，g（x）=a-ae^x單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，
于時，f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)＜0，解得a＜-

1

e

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．