Question

設函數f（x）=

ex+e-x 2 ，x≥0 ex-e-x 2 ，x＜0

，若方程f（x）=a恰有一實根，則a的取值范圍為（　�。�

• A、（-∞，0]∪（1，+∞）
• B、（-∞，0）∪[1，+∞）
• C、（-∞，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，0）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由分段函數可知，可依次判斷其單調性，由此確定a的取值范圍．

解答： 解：當x＜0時，
易知函數f（x）=

ex-e-x

2

為增函數；
當x≥0時，
令t=e^x（t≥1），其在[0，+∞）上是增函數，
且y=

t+t-1

2

在[1，+∞）上也是增函數，
則函數f（x）=

ex+e-x

2

也為增函數；
又∵f（x）=

ex-e-x

2

＜

e0-e0

2

=0，
f（x）=

ex+e-x

2

≥f（0）=1，
則若方程f（x）=a恰有一實根，則
a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）．
故選B．

點評：本題考查了方程的根與函數的交點之間的關系，同時考查了分段函數的單調性的判斷，屬于中檔題．