Question

設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)x₀∈R滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈X，使得|x-x₀|＜a，那么稱(chēng)x₀為集合X的聚點(diǎn)．現(xiàn)有下列集合：
①{y|y=e^x}，
②{x|lnx＞0}，
③{x|x=

1

n

，n∈N*}，
④{x|x=

n

n+1

，n∈N*}．
其中以0為聚點(diǎn)的集合有（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題在理解新定義“聚點(diǎn)”的基礎(chǔ)上，找出適合條件的函數(shù)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：①{y|y=e^x}，
∵y=e^x∈（0，+∞），
∴{y|y=e^x}=（0，+∞），
∴對(duì)任意a＞0，都存在

a

2

∈X，使得|

a

2

-0|＜a，
∴集合{y|y=e^x}是0為聚點(diǎn)的集合；
②{x|lnx＞0}，
∵lnx＞0，
∴x＞1，
∴{x|lnx＞0}=（1，+∞），
∵對(duì)

1

2

＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x-0|＜

1

2

，
∴集合{x|lnx＞0}不是0為聚點(diǎn)的集合；
③{x|x=

1

n

，n∈N*}，
∵{x|x=

1

n

，n∈N*}={1，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…}
∴對(duì)任意a＞0，都存在

1

n

∈X，使得|

1

n

-0|＜a，
∴集合{x|x=

1

n

，n∈N*}是0為聚點(diǎn)的集合；
④{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，
∵{x|x=

n

n+1

，n∈N*}={

1

2

，

2

3

，

3

4

，…}，
∴∵對(duì)

1

3

＞0，不存在x∈{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，使得|x-0|＜

1

3

，
∴集合{x|x=

n

n+1

，n∈N*}不是0為聚點(diǎn)的集合．
綜上，應(yīng)選①③．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義集合，還考查了函數(shù)值域和數(shù)列的單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．