Question

平面直角坐標系中，點M的坐標是（3，

3

），曲線C₁的參數(shù)方程為

x=1+cosα y=sinα

（α為參數(shù)），在以坐標原點為極點、x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（1）將曲線C₁和C₂化成普通方程，并求曲線C₁和C₂公共弦所在直線的極坐標方程；
（2）若過點M，傾斜角為

π

3

的直線l與曲線C₁交于A，B兩點，求|

MA

|•|

MB

|的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C₁和C₂消去參數(shù)方程中的參數(shù)，得到普通方程，再利用參數(shù)求出公共弦所在直線的極坐標方程，得到本題結(jié)論；
（2）利用直線l的參數(shù)方程，求出對應參數(shù)t₁•t₂的值，得到|

MA

|•|

MB

|的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為

x=1+cosα y=sinα

（α為參數(shù)），
∴C₁的普通方程：（x-1）²+y²=1，…①
∵C₂：ρ²=4ρsinθ，
∴x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=4，…②
①-②可得，x-2y=0，
∴曲線C₁和C₂公共弦所在直線的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ=0，
tanθ=

1

2

，（ρ∈R）．
（2）依題意，直線l的參數(shù)方程為

x=3+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（T為參數(shù)），
點A、B分別對應參數(shù)t₁，t₂，
代入C₁的方程：（3+

1

2

t-1）²+（

3

+

3

2

t）²=1，
∴整理得t²+5t+6=0，
∴t₁t₂=6，
∴MA|•|MB|=6．

點評：本題考查了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及參數(shù)方程的應用，本題難度不大，屬于基礎題．