Question

19．已知函數(shù)f（x）=cosωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），如果存在實數(shù)x₀，使得對任意的實數(shù)x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，則ω的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{4032π}$
• B． $\frac{1}{2016π}$
• C． $\frac{1}{4032}$
• D． $\frac{1}{2016}$

Answer 1

分析 由題意得區(qū)間[x₀，x₀+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩角和的余弦公式求得f（x），再根據(jù)2016π≥$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{ω}$，求得ω的最小值．

解答 解：由題意可得，f（x₀）是函數(shù)f（x）的最小值，
f（x₀+2016π）是函數(shù)f（x）的最大值；
要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間
[x₀，x₀+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間即可；
又f（x）=cosωx+$\sqrt{3}$cosωx=（$\sqrt{3}$+1）cosωx，
故2016π≥$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{ω}$，求得ω≥$\frac{1}{2016}$，
故ω的最小值為$\frac{1}{2016}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，屬于中檔題目．